Излага на функции онлайн

Необходимо условие за екстремум на функция на една променлива

f'0 уравнение (х *) = 0 - е необходимо условие за екстремум на функциите на една променлива, т.е. точка Х * първата производна на функцията трябва да бъде нула. Той подчертава неподвижната точка х-те. при които функцията не се увеличава, а не намалява.

Достатъчно условие за екстремум на функциите на една променлива

Нека f0 (х) е два пъти диференцируема в х. принадлежащи към комплекта D. Ако точка х * отговаря на условието:

на точка Х * е местен (глобално) минимум на функция.

Ако точка х * отговаря на условието:

на точка х * - местно (глобално) максимум.

Пример №1. Виж максималните и минималните стойности на функции в интервала [1; 3].
Решение.

Един критична точка x1 = 2 (F '(х) = 0). Тази точка принадлежи на интервала [1, 3]. (X = 0 точка не е критично, тъй като 0∉ [1, 3]).






Изчисляваме стойностите на функцията в крайните точки и най-критичната точка.
е (1) = 9, е (2) = 5/2. F (3) = 3 8/81
Отговор: Fmin = 5/2 когато х = 2; Fmax = 9, с х = 1

Пример №2. Използването на по-високи производни ред определят екстремум на функция у = х-2sin (х).
Решение.
Намираме производно на функцията: Y '= 1-2cos (х). Критичните точки: 1-COS (х) = 2, COS (х) = Уг, х = ± π / 3 + 2πk, k∈Z. Ние намираме у '' = 2sin (х), изчисли 0 "ALT =" максимални и минимални стойности на функцията. Пример "заглавие =" максималните и минималните стойности на функцията. Пример ">, след което х = π / 3 + 2πk, k∈Z - минимална точка на функцията, следователно х = - π / 3 + 2πk, k∈Z - максимален брой точки на функцията.

Пример №3. Изследване на екстремум ftsnktsiyu в близост до х = 0.
Решение. Необходимо е да се намери екстремуми на функцията. Ако крайната стойност х = 0. след определи тип (ниска или висока). Ако намерени точки имат х = 0, тогава се изчисли стойността на F функция (X = 0).
Трябва да се отбележи, че когато производно от всяка страна на този етап не се променя знака си, не се изчерпва възможно ситуацията, дори и за диференцируеми функции: тя може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точка x0 или от двете страни на производно знак промени , В тези точки трябва да се използват други методи за изследване функции в крайност.