квадратното неравенство

Квадратичен неравенство - "напълно". В тази статия, ние ще вземем решение на неравенството площад се нарича тънкостите. Проучване материални предмети, се препоръчва да не липсва нищо. Подчинявам статията просто няма да работи, аз препоръчвам да го правите по няколко подходи, много информация.

Аз препоръчвам да се повтаря формулата за решаване на квадратно уравнение и да научат бързо да го реши. Без това, решението на квадратни неравенства реч не може да бъде.

Квадратичен неравенство - този тип неравенство:

В действителност, ако вземете квадратното уравнение и замени знак за равенство за някое от горните, можете да получите квадратното неравенство. Решете неравенството - това означава да се отговори на въпроса, за какви стойности на х, това неравенство ще бъде вярно. примери:

Квадратичен неравенство може да бъде определен по подразбиране, като например:

В този случай е необходимо да се извърши алгебрични трансформации и го доведе до стандартната форма (1).

* Коефициентите могат да бъдат частични и ирационални, но в учебната програма такива примери са редки, и в изпита задачи не се срещат най-малко. Но вие не се притеснявайте, ако, например, ще намерите:

Това също е квадратното неравенство.

Първо, помислете за едно просто решение алгоритъм, който не изисква разбиране на това, което квадратното функцията и как изглежда на графика на координатната равнина спрямо координатните оси. Ако можете да си спомните информацията бързо и дълго, с регулярно подчертават своята практика, алгоритъмът ще ви помогне. Също така, ако, както се казва, че е необходимо да се реши този неравенство "narazok", алгоритъмът да ви помогне. След това, можете лесно да се приложи решение.

Ако сте в училище, ние силно ви препоръчваме да започнете да учите статията с втората част, която описва целият смисъл на разтвора (виж по-долу за една точка - използването на квадратна функция графика). Ако има разбиране на факта, не е да се учи, а не да се запамети алгоритъм няма да има нужда да го можете лесно бързо да изберете някоя квадратното неравенство.

Разбира се, би било правилно да се започне с обяснение на точно графиката квадратното функции и obyasneniya много смисъл, но реши да "изгради" една статия по този начин.

Друга теоретична точка! Виж формула за разширяване на квадратен трином в фактори:

* За да се реши квадратното неравенство трябва да бъдат квадратен тричлен фактор.

Алгоритъмът по-долу се нарича още метода на интервали от време. Той е подходящ за решаване на неравенства на форма F (х)> 0, F (х)<0. f(x)≥0 иf(x)≤0. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

решение алгоритъм. метод интервал. Примери.

1. Добави квадратното уравнение ax2 + BX + С = 0 и решаване. Ние получи x1 и x2 - корените на квадратното уравнение.

2. Заместването в (2) и коефициент на корени. Пишем неравенството във формата:

3. Определяне на интервали от броя линия (корени разделени на интервали цифров ос):

4. Определяне на "марки" на интервали (+ или -) чрез заместване на произволна стойност "х" на всяка получена слот за израза:

5. Ние можем да Ви предпише само интервали от интерес за нас, те са отбелязани:

- знак "+", ако неравенството стоеше "> 0" или "≥0".

- знак "-", ако неравенството е "<0» или «≤0».

На следващо място, напишете отговора.

ЗАБЕЛЕЖКА. Себе си да неравенство признаци могат да включват:

строг - един ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Как това се отразява на резултата от решението?

Когато сериозни признаци за ограничение неравенство на границите не е включена в решението, с интервал отговор самият е писано в форма (x1, x2) - скоби кръг.

Когато не-строги неравенство знаци са интервал граница в разтвора, и отговорът може да бъдат записани като [x1, x2] - квадратни скоби.

* Това не е просто квадратни неравенства. Квадратни скоби означават, че границата на интервала е включена в разтвора.

На примерите вие ​​ще го видите. Нека да разгледаме няколко, за да се отстранят всички въпроси по темата. На теория, алгоритъмът може да изглежда малко сложно, той всъщност е лесно.

Заместването на корените и коефициент във формулата (2), ние получаваме:

Добави неравенство във формата (х-50) (х-10) ≤ 0

Корените на уравнението са разделени на интервали цифров ос. Ние ще им покажем по редица ред:

Имаме три интервали (-∞; 10), (10; 50) и (50 + ∞).

Определя се "марки" на интервали направи това чрез заместване на експресията (х-50) (х-10) произволни стойности на всеки получени слот и изглеждат съвпадение получава знак "знак" в неравенството (Х-50) (х-10) ≤ 0.

когато х = 2 (х-50) (х-10) = 384> 0, неправилно

когато х = 20 (х-50) (х-10) = -300 <0 верно

когато х = 60 (х-50) (х-10) = 500> 0, неправилно

Решението ще бъде интервала [10, 50].

За всички стойности на х от това неравенство е вярно интервал.

* Моля, имайте предвид, че ние имаме доставени скоби.

За х = 10 и х = 50 неравенство също ще бъде вярно, това е, границите са включени в решението.

- граници интервал включват разтвор на неравенство когато целта е предвидена в или ≤ ≥ (не-строг неравенство). В този случай, скицата взети корените получени показват ZASHTRISHOVANNYM кръг.

- Границите на интервала не е включена в неравенството на решение, когато има знак в състоянието, <или> (Строг неравенство). В този случай, на скицата пуснала корени дисплей отворени кръгове.

Заместването на корените и коефициент във формулата (2), ние получаваме:

Добави неравенство във формата (х-3), (х + 7)> 0.

Корените на уравнението са разделени на интервали цифров ос. Забележка тях на брой ред:

* Неравенство небрежното, така се отнася до корените на Светлите. Ние получи три интервали (-∞; -7), (-7; 3) и (3 + ∞).

Определя се "признаци" в интервалите, направи това чрез заместване на експресията (х 3), (х + 7) произволни стойности на тези интервали и гледат съответния неравенството (х 3), (х + 7)> 0.

когато х = -10 (-10-3) (-10 +7) = 39> 0 е вярно

когато х = 0 (0-3) (0 +7) = -21 <0 неверно

когато х = 10 (10-3) (10 +7) = 119> 0 е вярно

Решението ще бъде два интервали (-∞; -7) и (3 + ∞). За всички стойности на х в неравенството на интервали ще бъде вярно.

* Моля, имайте предвид, че ние поставяме скоби. Когато х = 3 и х = -7 неравенството ще бъде погрешно - границите, не са част от решението.

Заместването на корените и коефициент във формулата (2), ние получаваме:

Добави неравенство като - (х + 5) (х + 4)> 0.

Корените на уравнението са разделени на интервали цифров ос. Забележка по брой ред:

* В неравенството е стриктно, така че наименованията Светлите корени. Ние получи три интервали (-∞; -5), (-5; -4) и (-4 + ∞).

Определя се "признаци" на интервали, което го прави чрез заместване в експресията - (х + 5) (х + 4) произволни стойности на тези интервали, и виж съответния неравенството - (х + 5) (х + 4)> 0.

когато х = -10 - (-10 + 5) (-10 +4) = -30 <0 неверно

когато х = -4,5 - (-4,5 + 5) (- 4,5 + 4) = 0,25> 0 е вярно

когато х = 0 - (0 + 5) (0 +4) = -20 <0 неверно

Решението ще бъде в интервала (-5, -4). С всички "Х" ценностите на неравенство, принадлежащи към това ще бъде вярно.

* Моля, имайте предвид, че границите не са включени в решението. Когато х = х = -5 и -4 неравенството е погрешно.

При решаването на квадратно уравнение, ние можем да получите корен или корени няма да бъде изобщо, а след това с помощта на този метод, сляпо да имате трудности в намирането на решение.

До малко! Методът е добър и е удобен за използване, особено ако сте запознати с квадратна функция и да знаят свойствата на своя график. Ако не, тогава моля, прочетете, преминете към следващия раздел.

Използване на графиката на квадратна функция. Аз препоръчвам!

Квадратна функция на формата е:

Неговата графика е парабола, клон на парабола насочен нагоре или надолу:

Графиката може да бъде разположен както следва: х-ос може да се пресичат в две точки, може да се отнася до една точка (връх) не може да премине. Повече за това по-късно.

А сега да разгледаме този подход като пример. Целият процес на решения се състои от три етапа. Ние се реши неравенството x2 + 2x-8> 0.

Point - 4 и 2 точки на пресичане на парабола и оста Ox. Толкова е просто! Какво е направил? Ние решихме квадратното уравнение х2 + 2х-8 = 0. Погледнете си рекорд в тази форма:

Нулева имат стойност "у". Ако у = 0, получаваме абсцисата на параболата точките на пресичане с оста х. Може да се каже, че нулева стойност "Y" е х-ос.

Сега погледнете какви стойности на х израз х2 + 2x- 8 повече (или по-малко) нулата? Според графика на параболата е лесно да се идентифицират, както се казва, всичко това в ума:

1. Когато х <– 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x2+2x–8 будет положительным.

2. -4 <х <2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x2+2x–8 будет отрицательным.

3. При х> 2 парабола клон е над вола на ос. При тези трином х х2 + 2х-8 ще бъде положителен.

Парабола нас веднага ясно под каква е израз x2 + 2x-8 е по-голяма от нула, нула, по-малко от нула. Това е същността на третия етап от решението, а именно да се види и идентифициране на положителни и отрицателни района на фигурата. Намирането резултат, получен началната и неравенства пишат отговор. В нашия пример, е необходимо да се определи всички стойности на х за които експресия х2 + 2х-8-голяма от нула. Всъщност, ние го направи във втория етап.

Остава да напишете отговор.

Да обобщим: първата стъпка на изчисляване на корените на уравнението, можем да посочим на точките от данните на оста Ox (парабола е точката на пресичане с оста х). Освен това схематично конструираме парабола, и вече можем да видим решението. Защо схеми? Математически, не е необходим точният график. И представете си, например, ако корените са получени 10 и 1500, просто се опитват и да се изгради точен график на листа в клетка с работещ ценности стартиращи. Това повдига въпроса! Е, ние имаме корени, добре, те посочи ос говедо и скица на самата оформлението парабола - клоните нагоре или надолу? Всичко е лесно! Коефициентът на х 2 ти казва:

- ако тя е по-голяма от нула, клоновете параболата са насочени нагоре.

- Ако по-малко от нула, клони параболата на дъното.

В нашия пример, тя е равна на единство, което е положително.

* Забележка! Ако неравенството ще бъде знак на небрежното, т.е. ≤ или ≥, след което корените на реалната линия трябва да се излюпят, те обикновено показват, че много стойност на интервала е включен в разтвора на неравенство. В този случай, корените не са засенчени (изгасне), защото имаме строг неравенство (има знак ">"). С това в отговор, в този случай, сложи скоби вместо квадрат (граница не са включени в решението).

Много е писано, някой объркан, предполагам. Но ако решите най-малко 5 на неравенството, използващи параболи, че наслада си лимит няма да бъде. Толкова е просто!

1. Напишете неравенството води до стандарта.

2. Напишете квадратното уравнение и решаването му.

3. Изготвяне на оста Ox, бележка получи корени схематично изготвят парабола клонове нагоре, ако коефициентът на х 2 е положителен или клонове надолу, ако е отрицателна.

4. Определяне на зрителното поле на положителен или отрицателен отговор и запис на оригиналния неравенство.

Ние изграждаме оста х. Отбелязва, получени корени. От неравенството имаме строг, а след това ги засенчи няма. Схематично конструиране парабола клонове се намира нагоре като коефициентът на х 2 положителен:

Определете визуално положителни и отрицателни региони, тук сме ги маркирани с различни цветове за по-голяма яснота, не можете да направите това.

* Знак на U е obodinenie решение. Образно може да се каже така, решението е "това" и "дори" интервал.

Ние изграждаме оста х. Отбелязва, получени корени. Тъй като ние не може да носи строго неравенство, тогава сянка обозначения корените. Схематично конструиране парабола клонове се намира надолу, тъй като коефициентът на х 2 е отрицателен (е-1):

Определяне на визуално положителни и отрицателни региони. Са сравнени с оригиналния Неравенството (знакът ние ≤ 0). В неравенството е вярно за х ≤ - 4 и х ≥ 5.

* Квадратните скоби - това означава, че границите на интервала са включени в решението. Ay ос на фигурите не са посочени, тъй като е в тази ситуация не е от значение, това е, когато скициране OY на оста се изгради по избор.

Сега друг важен момент! Ние счита примери, в които в разтвора на квадратното уравнение, получен от две корени, т.е. параболата пресича оста х в две точки. Решението на процеса е ясно. Но възниква въпросът: ако решението на квадратното уравнение ще един корен или да не се изкорени (дискриминантен е отрицателен), а след това как да се разбере и как да се определи дали има решение?

Някои отговори са очевидни:

- Ако се окаже, един корен (на дискриминантата е нула), параболата ще докосне вол ос в една точка, а именно неговия връх.

- Ако няма решение на квадратно уравнение (дискриминантен е отрицателна), след параболата ще принцип не докосвайте оста на вол.

Тогава възниква въпросът, какво да се прави в тези ситуации и как да се определи отговора?

И това е мястото, където аз ви моля да обърнете внимание на един ключов момент, който вече е предвидено в тази статия! В неравенство при х 2 можем да бъдем положителен или отрицателен коефициент. Ако положителен коефициент на клона за парабола насочена нагоре, с отрицателен надолу. И сега се пристъпи към следващия раздел на статията.

Решаването квадратни неравенства. Всички поводи!

По-долу можете са представени за всички варианти, параболи място, които могат да възникнат, когато решаването на квадратното неравенство:

Първият набор от графики

(Коефициент> 0, който е парабола клон насочена нагоре)

Вторият набор от графики

(Коефициент на <0, то есть ветви параболы направлены вниз)

По отношение на въпросите, посочени по-горе, по повод когато квадратното уравнение няма решение, обърнете внимание на цифрите, 9,10,11,12, 21,22,23,24 и разбирам всичко. Още:

Например, можете да откриете, че на дискриминантата е отрицателна, няма коне в решаването на квадратно уравнение. Какво означава това? А фактът, че клоновете на параболата не пресичат оста Ox, т.е. той се намира, над оста Ox и нейните клонове са насочени нагоре или по оста и нейните клонове са насочени надолу. И тогава ние трябва да разбера къде във вашия случай, насочена клонове. Гледаме на коефициента на х 2.

- ако тя е положителна, а след това на схематичен равенство парабола над оста Ox с клонове, насочена нагоре.

- ако е отрицателен, тогава се направи парабола схематично по-долу волски ос с клонове издадени надолу.

Освен това, само остава да сравните нашия имидж с това неравенство и като се вземат предвид знака в него просто напишете отговора. Всичко.

Пример: х 2 + 2х + 16 <0

В дискриминантата е отрицателен, не коне. Така че параболата пресича оста х.

Коефициентът на х 2 положителен (равно на 1), след това параболата е както следва - клон насочена нагоре и се намира над вола оста (както във фигура 12.).

Ние трябва да си запишете стойността на х, за които х 2 + 2х + 16 е отрицателна. Такова "X" не е очевидно от графиката (фигура 12).

Отговор: xε∅ (няма решение).

* Ако знака на това неравенство е ">", а след това решението ще бъде на всички реални числа (фиг. 10).

Сега крайната точка, която не може да бъде заобиколено по никакъв начин на парти, ние не са сметнали за решаването на неравенството в следния формат:

Всичко е просто. Ако сте учили в подробности по-горе материал в статията и пропуснати информацията, както се казва, чрез себе си, тук тези въпроси, които да отговорят лесно.

Три случаи са възможни, например синтез на AH на решение 2 + BX + с = 0, получаваме:

2. Един корен, след това разтворът е xε (-∞ х) U (х + ∞).

3. Не корени, разтворът е цяло число xε ос (-∞ + ∞).

Вземи материал статия в PDF

Това е всичко, благодаря ви за вниманието. Обемен оказа малка статия.

С уважение, Александър Krutitskih