Паскал триъгълник 2

Невероятно триъгълник голям французин

Добре си спомням един професор, който беше
визия и си мислеше, че полудявам.
Той дойде при мен в състояние на паника.






В отговор, аз просто взе една книга от рафта, написана
Преди около четири години, а той е показал пациент
гравюра, изобразяваща точно
това, което е мечтал той.
Карл Густав Юнг. Човекът и неговите символи.

Когато прочетох Паскал, според мен,
Самият аз чета.
Стендал

Blez Паскал и друг голям французин, Per Ferma, стана основателите на теорията на вероятностите, годината на нейното раждане често се споменава като 1654-та, когато Паскал и Ферма независимо даде правилен обяснение на така наречения участък парадокса цени. Двама играчи играят в "безобидна" играта (т.е. шансове да спечели и двете едно и също), съгласявайки се, че този, който първи спечели шест мача, ще получите цялата награда. Нека допуснем, че играта е спряна, преди един от тях спечели награда (например, първият играч, който печели пет мача, а втората - три). Както правилно се разделят наградата? Въпреки че, най-общо казано, проблемът не е парадокс, неуспешни опити на някои видни учени за разрешаването му, както и неверни отговори са създали легендата на парадокса. По този начин, в зависимост от решението на наградата трябва да бъде разделена по отношение на 5. 3, т.е. пропорционално за да спечели играта, според друга - по отношение на 2. 1 (тук аргументите бяха, както изглежда, както следва: като първия играч, който спечели два мача повече, което е една трета от времето, необходимо, за да спечели шест мача, той трябва да получи една трета наградата, а останалата част да бъде разделена на две).

В същото време, необходимо е да се споделят в съотношение 7: 1. И Паскал и Ферма счита Цените на секциите парадокс като проблем на вероятностите, се установява, че на панаира е секцията, която е пропорционална на шансовете на първия играч, който спечели награда. Да предположим, че първият играч само една игра наляво, за да спечели, а във втория, за да спечели, което трябва да спечели още три игри, играчите продължават да играят и да играят и трите игри, дори и ако някои от тях ще бъде необходимо да се определи победителя. За такова разширение всички 2 3 = 8 възможни резултати са еднакво вероятно. Тъй като вторият играч получава награда за само един изход (ако той спечели всички три мача), а в други случаи, първият играч печели, е само съотношението на 7. 1. (Паскал и Ферма също намери общо решение за случая, когато един играч за награди за спечелване н повече страни, а останалите - м партиди).

Триъгълник ще бъде пиян
За да развесели му дам!
Въпреки, че той паралелепипед,
Дали той кубчета yadrena въшка
Владимир Висоцки

В действителност, триъгълник на Паскал е бил известен много преди 1653 - датата на оттегляне, "трактат за аритметична триъгълник". Така че, този триъгълник възпроизведен на заглавната страница на аритметика учебник, написан в началото на XVI Петър Apianom, астроном от университета в Ingoltshtadskogo. Показва триъгълник и илюстрацията в книгата на китайски математик, публикувана през 1303. Омар Хаям, който е бил не само философ и поет, но и математик, е знаел за съществуването на триъгълник около 1100, от своя страна, го назаем от по-ранните китайски или индийски източници.

Това е още по-лесно да се обясни триъгълник единични думи на Паскал: всяко число е сумата от двете числа над него. Всички елементарни, но много хора в този скрит чудеса.

На върха на триъгълника е на стойност 1. триъгълник може да се продължи за неопределено време. Тя е симетрична около вертикалната ос, която минава през неговия връх. Заедно диагоналите (като триъгълник може да бъде диагонал, но нека не игра на думи, тази терминология се намира в публикации), успоредните страни на триъгълника (в фигурата отбелязани със зелени линии) са подредени триъгълни числа и техните обобщения за случая на пространства на всички измерения.

Триъгълен номера в обичайните и познатата ни като показват как много клубове, свързани могат да бъдат подредени в триъгълник - като класически пример за първоначалното привеждане в съответствие на топките билярд. С една и съща монета, можете да се облегне на още две - общо три - две възможни priladit още три - общо шест. Продължавайки да увеличи редове триъгълник форма задържащ получи поредица от 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, и 66 показва, че вторият Зелената линия. Тази забележителна номер, всеки член на които е сумата от естествени числа (55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) също така съдържа множество познати, добре известни вентилатори на математиката: 6 и 28 - ангажирани номера 36 - кв номера 8 и 21 - числата на Фибоначи.

И на следващия зелената линия (1, 5, 15, 35) опит да се покаже, gipertetraedra успешно в четириизмерното пространство - една топка докосне четиримата, и тези, на свой ред десет. В нашия свят, това не е възможно, само четири, виртуално. И колкото по-пет-мерното тетраедър, както е видно от следващата зелената линия, тя може да съществува само в съображенията на топологията.

И какво да кажем най-горната зелената линия, на която физическото номерата? Това също е триъгълна брой, но едномерна, показвайки колко топки може да се полага по линията - колко да се яде, толкова много лежаха. Ако отидем до края, в началото на броя на единиците - също е триъгълна номер в нула тримерното пространство - без значение колко топки ние нямаме - да се поставят повече от един не може, просто за никъде - не дължина или ширина или височина.

Дори един бегъл поглед към триъгълник на Паскал, е достатъчно, за да обърнете внимание на следните интересните факти: 10 ядра могат да бъдат сгънати във формата на тетраедър и равнина триъгълник. А 56 Hypernuclei формиране на тетраедър в пет-мерното пространство, могат да бъдат пуснати в редовна тетраедър обичайните триизмерен, обаче, ако се опитаме да се сложи 56 ядра триъгълник, а след това едно ядро ​​ще остане излишна.

Бръкнах за няколко минути, ще бъде възнаграден с триъгълник се появява на екрана и, следователно, са готови за предстоящия необичаен експеримент. (Твърде много редове, за да питат не е необходимо, тъй като с 13-14 реда в средата започнат да се появяват четири или пет-цифрено число, те се сливат с постоянния рамо до рамо и на снимката се намазва. Можете, разбира се, увеличаване на радиуса на клетката и намаляване на шрифта, но все пак, числата в средата на триъгълника се разраства бързо и ще се слеят, въпреки че няколко реда по-долу).

Но първо, няколко по-интересни свойства на триъгълник на Паскал. За да намерите сумата от номера на всеки диагонал от началото до интересни места за нас, просто погледнете броя намира на дъното и в ляво от предишния мандат. (От ляво на дясно по диагонал, е ляво и дясно, като цяло, за диагонала - е по-близо до центъра на триъгълника). Да предположим, че искаме да се изчисли сумата от естествени числа от 1 до 9. "слезе" на диагонала на номер 9, ще видим в долния ляв ъгъл на него номер 45. След това тя дава необходимата сума. Каква е сумата на първите осем триъгълни числа? Ние извличане на 8-ми номер във втория диагонал и се движи надолу и наляво. Отговор: 120. Но, между другото, 120 - тетраедални номер. Ето защо, като всички топки, от които 8 са съставени от първия триъгълник, бихме могли да добавите тетраедър. Опитайте с череши или ябълки с еднакъв размер, просто не се опитват да отида с тях в четвъртото измерение, те могат да изчезнат.

Сума от цифрите, а не като стои по стръмно, попадащи диагоналите (на фигурата белязана от червени линии) представляват един добре познат постоянни читатели Фибоначи. Вижте, например, по-горе статия "Зайци канибалите, четиристишия." Или множество материали по една диня.

Но и в предишните издания не сме говорили за това Числата на Фибоначи често се срещат в комбинаторни проблеми. Помислете за броя на столове п. Колко начини да седнете върху тях мъжки и женски, така че няма две жени седяха един до друг? Когато п = 1, 2, 3, 4, съответно, броят на начини е 2, 3, 5, 8, т.е. съвпада с Фибоначи номера. Паскал, явно не знаеше, че числата на Фибоначи, скрити в неговата триъгълник. Този факт е бил открит само в XIX век. Брой на заставане на хоризонтални редове на триъгълник Паскал - е Биномен коефициент, т.е. коефициенти на разширение (х + у) п на правомощията на х и у. Например, (х + у) 2 = х 2 + 2xy + Y 2 и (х + у) 3 = х 3 + 3x 2 у + 3xy2 + у 3. коефициенти на разширение са 1, 2, 2 са във втория ред, и един , 3, 3, 1 - в третата линия на триъгълника. За разширяване на коефициентите на (х + у) п. просто погледнете на н-я ред на триъгълника. Това е фундаментално свойство на триъгълник на Паскал го свързва с комбинаторика и теория на вероятностите, като удобно средство за извършване на изчисления.

В общия случай, броят показва колко начини могат да бъдат избрани от множество от п елементи, съдържащи различните елементи на R, е в пресечната точка на N-солна диагонал и г-ти ред. И пак, за тези, които имат най-малко нещо, за да го получи. Броят на възможните комбинации на п от М елементи дадени с формула

Когато п! = 1 * 2 * 3 * 4 *. * N факторен на т.нар п. И същите три жени от седемте, които можете да избирате много възможности: !!! С юли 3 = 7/3/4 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7/1 * 2 * 3/1 * 2 * 3 * 4 = 5040/6/24 = 35, което бяхме получи. А Биномен коефициент стойности, определени с формула при което те са същите, както ние открихме, редове на триъгълник Паскал, свързващи необяснимо този триъгълник и на комбинаторика биномно разширяване на сили.

Между другото, комбинациите с формула това следва, че броят на избор от три до седем равен на броя на избор от 6:56, или брой карти за пълнене Sportloto изпълнение 5 от 36 равен на броя на 36 селекция 31, мислят за това приятен субект.

Ето една програма, която реализира триъгълника оцветяване в съответствие с паритета на всеки един от триъгълника. Вместо стойност на негово място е съставен кръг потопени черно за странни стойности на бяло и дори.

Във втория етап, на същата операция се извършва с останалите три триъгълници, и след това до девет останалите и така нататък. Можете ли да намерите търсената от останалата площ граница? И как да се обясни съвпадението на двата модела?

При преместване - Опитвам се да не се покажат паритет, а останалата част от разделението с други числа, и всеки път изненада открива изглед на триъгълник. След като игра за известно време, ние се отбележи, че когато се уточнява броят разделение, чрез които ние проверяваме, просто, ще направят красиви модели с ясно изразена закономерност (опитайте да попитам 3, 5, 7, 11, 13, 17), а когато е разделен от композитен номер украшение рони, воденето, обаче, симетрията и редовността на променлив модели. Освен това, по броя на разделители провери (например НА2 12 се разделя на 3, 4 и 6), се получава повече "замъглено" модел.

Помислете за триъгълника построен "на" числото 7, което означава, че броят не се дели на 7 без остатък, боядисана в черно, разделяйки - бяло, и се опитайте да видите моделите.

И тук е резултат от програмата. Не е ли красива? Видим червен триъгълник "Sierpinski зона", която, насложен върху зелените прозорците на деветки дава жълти зони и сини части от разделението с 11 дава лилави петна. Това се постига красота практическа стойност, с изключение на модел на тапети, не е ясно, но от триъгълника на Паскал, особено цвета, можете да очаквате чудеса, може би в близко бъдеще. Ето и още един вариант на оцветители, направени от алгоритъма

R = а (х, у) / Mod 3 255 гр = а (х, у) / 2 Mod 255 б = а (х, у) / 4 Mod 255

И последният въпрос, завързани заедно с триъгълник и шах на Паскал. Каква е сумата на всички числа, които стоят над всяка серия? Помислете за себе си, като се започне в началото на тези суми, и вие ще видите стойностите 1, 3, 7, 15, 31. Не е необходимо да има голямо въображение, за да видите едно просто правило: сумата от всички числа за N редове, равни на 2 н -1. А къде шах тук? Според добре позната легендата за Раджа тя обеща създател на шах всяка награда, която той иска. Когато първият играч иска да постави на първо квадрата на борда е едно зърно от пшеница, а вторият - два, на третия - четири, и така продължава да се удвои до 64-ата площада, Раджа е обиден на пръв оскъдност искаме награда. Когато си мениджъри за доставка, собственици на магазини измислили ние питаме за броя, се оказа, че това зърно може да запълни цялата Земя на коляното, това е много повече от това е, и ще се събират във всички култури на човечеството. (Между другото, е възможно да се определи височината на зърно слой, предварително определен обем на зърното, например 1 mm, умножена по 3. 2 64. непременно изважда 1 и се разделят на квадратен повърхността на земята.) Така че - във всяка клетка определят дъски (до) броя на зърна равни сумата от числата в съответния ред на триъгълник Паскал, и сумата от всички зърна в първите N клетките е равна (с) сумата от номерата на тези п линии на магически триъгълник. Това изобилие въображение и ще завърши своя преглед.