Поанкаре предположение - това
Първоначално Поанкаре предположение е специален случай на генерализирано предположенията за п = 3.
Скица на доказателството
Ricci поток - определен частичен диференциално уравнение. като уравнение на топлина. Тя ви позволява да изкриви Риманова метриката на колектор, но в процеса на деформация, формирането на "сингулярност" - точките, в които кривината клони към безкрайност, и деформация не може да продължи. Основната стъпка в доказателството е в класирането на такива сингулярности в триизмерен ориентирани случай. При приближаване особеността на ограничителя на потока и произвеждат "хирургия" - хвърлят малък свързан компонент или нарязани "врата" (т.е., закрепен) и получените два отвора са запечатани с две топки, така че показателят на колектора получава става достатъчно гладка - продължете деформация. Класификация на сингулярности може да се заключи, че всяко "парче изхвърля" diffeomorphic сферична пространствена форма. Методът, описан по-горе, се нарича "Ricci поток с хирургия."
В доказателство на хипотезата на Поанкаре започнем с произволна Риманова метричен по просто да се свърже триизмерен колектор и прилага потока Ричи с операция. Важна стъпка е да се докаже, че в резултат на този процес "хвърлени" всичко. Това означава, че първоначалното колектор може да бъде представена като поредица от сферични пространство форми, свързани един с друг телефони. Изчисляване на основното група показва, че количеството на diffeomorphically свързани набор от пространствени форми и повече са всички тривиално. По този начин, свързан сума на набор от области, т.е. областта.
През 1900, Поанкаре прави предположението, че триизмерната колектор с всички хомоложни групи като сфера е homeomorphic на сферата. През 1904, той също така, насрещно Например, сега е известен като сферата Поанкаре. и формулира окончателната версия на своята хипотеза. Опитите да се докажат хипотезата на Поанкаре е довело до много напредък в топологията на колектори.
Доказателство за генерализирано Поанкаре п ⩾ 5 получен в началото 1960-1970 Smale почти едновременно, поотделно, и други методи Stallings (Eng.) (За п ⩾ 7, доказателството е разширена до случаите на п = 5 и 6 Zeeman (Engl. )). Доказателство за това е много по-трудно при п = 4 се получава само през 1982 г. от Фридман. От теорема Новиков на топологични инвариантността на класовете Pontryagin, съществуват хомотопия равностойни, но не homeomorphic колектори във високите измерения.