Gradient функция - studopediya

Във всяка точка на D, която е дадена функция, ние определяме вектор, чиито издатини на осите са стойностите на частните производни на тази функция в съответната точка:

Този вектор се нарича градиента на функцията. Смята се, че в областта D са дефинирани по-вектор поле градиенти. Ние доказваме следната теорема установява връзка между наклона и посоката производно.

Теорема. Да бъде даден скаларно поле и е посочено в тази област е скаларна градиентно поле.

След това производно в посока на вектор е равна на проекцията на вектор.

Доказателство. Помислете за единица вектор, съответстващ на вектора:

Изчисляваме скаларна продукт на вектори:

Експресията на дясната страна на това уравнение е производно на функция в посоката на вектора. Вследствие на панаира

Ако означим ъгълът между векторите и чрез, ние можем да напишете:

Въз основа на по-горе теоремата ясно установи връзка между градиента и производното към даден момент във всяка посока.

Установяваме някои свойства на наклона:

1) производно в дадена точка на вектора на маршрут има максимална стойност, когато посоката на вектор съвпада с посоката на наклона; това е най-голямата стойност на производното е равна.

2) производно в посоката на вектора перпендикулярна на вектора е нула.

Забележка. Ако функцията е функция на две променливи, векторът

Е перпендикулярна на кривата на ниво лежи в равнина и преминаваща през съответната точка.

Пример. Определяне на градиента на функцията на точка.

Решение. частични производни

точката ще бъде равна на