Производното на имплицитно функция

Ако функцията на единичен вариабилен описана от уравнение \ (у = F \ наляво (х \ дясно) \), където се намира променлива \ на (у \) от лявата страна и от дясната страна зависи само от аргумент \ (х \), след това се каже, че функция е дадено изрично. Например, следните функции са посочени ясно: \ [\; \; + 2х + 5> \; \; \] В много проблеми, обаче, функцията може да се определи по подразбиране. т.е. под формата на уравнение \ [F \ наляво (\ дясно) = 0. \] Разбира се, изрично функция могат да бъдат написани в имплицитно форма. Тъй като гореспоменатите функции могат да бъдат представени като \ [\; \; - 2х - 5 = 0,> \; \; \] Трансформацията на обратен може да се извърши не винаги е така. Често има функции, определени имплицитно чрез уравнение, което не може да бъде решен за променлива \ (у \). Например, за следните функции \ [+ - 3 = 0,> \; \;> + >>> - 4x = 0,> \; \; \ Right) = 0> \] не може да се получи зависимостта \ (у \ ляво (х \ дясно) на \) изрично.

Добрата новина е, че не е необходимо да го превърне в изрична форма за производно \ (у '\ наляво (х \ вдясно) \) имплицитно дефинирана функция. За да направите това, познавайки уравнение \ (F \ ляво (\ вдясно) = 0, \), просто следвайте тези стъпки:

• Първо, трябва да се разграничат две части на \ уравнение (х \), ако се приеме, че \ (у \) - е диференцируема функция \ (х \), и с помощта на правило за изчисляване на производно на съставна функция. Производното нула (дясната страна) също ще бъде равна на нула.

Забележка. Ако дясната страна е различна от нула, т.е. имплицитно уравнение е на формуляра \ [г \ наляво (\ дясно) = г \ наляво (\ дясно), \] диференциране на лявата и дясната страна на уравнението.

За решаване на уравнението Полученият за производно \ (у '\ наляво (х \ дясно) \).

Описаният алгоритъм за намиране на косвения функцията на производно се използва в примерите по-долу.

Предвид уравнението на окръжност \ (= + \) с център в основата и радиус \ (R \). Намерете производно \ (у '\ наляво (х \ вдясно). \)

Ние се диференцират от \ (х \) от двете страни на уравнението: \ [> \ наляво (+> \ дясно) = \ Frac> \ наляво (> \ полето),> \; \; \; \; \; \; \; \; .> \] В този случай, може да се получи изрично израз за производно. Например, за горната полуокръжност зависимост \ на (у \ ляво (х \ дясно) \) има ясна представа \ (у = + \ SQRT -.> \) Следователно ние откриваме, че производното е равна \ [Y '= - \ Frac -> >>. \]